Pese a que
realizó aportaciones y correcciones de relieve, Euclides ha sido visto a veces
como un mero compilador del saber matemático griego. En realidad, el gran
mérito de Euclides reside en su labor de sistematización: partiendo de una
serie de definiciones, postulados y axiomas, estableció por rigurosa deducción
lógica todo el armonioso edificio de la geometría griega. Juzgada no sin motivo
como uno de los más altos productos de la razón humana y admirada como un
sistema acabado y perfecto, la geometría euclidiana mantendría su vigencia
durante más de veinte siglos, hasta la aparición, ya en el siglo XIX, de las
llamadas geometrías no euclidianas.
Biografía
Poco se
conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático
más famoso de la Antigüedad. Es probable que se educara en Atenas, lo que
permitiría explicar su buen conocimiento de la geometría elaborada en la
escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras
de Aristóteles.
Euclides
enseñó en Alejandría, donde abrió una escuela que acabaría siendo la más
importante del mundo helénico, y alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de
su magisterio durante el reinado de Ptolomeo I Sóter, fundador de la dinastía
ptolemaica que gobernaría Egipto desde la muerte de Alejandro Magno hasta la
ocupación romana. Se cuenta que el rey lo requirió para que le mostrara un
procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo
que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría.
Este epigrama, sin embargo, se atribuye también al matemático Menecmo, como
réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno.
La tradición
ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y
modestia, y ha transmitido asimismo una anécdota relativa a su enseñanza,
recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometría
le preguntó qué ganaría con su aprendizaje. Euclides le explicó que la
adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma; y dado que el
muchacho tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios, ordenó
a un sirviente que le diera unas monedas.
Los
Elementos de Euclides
Euclides fue
autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos,
los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la
literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una
compilación de obras de autores anteriores (entre los que destaca Hipócrates de
Quíos), a las que superó de inmediato por su plan general y la magnitud de su
propósito.
De los trece
libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende
todavía como geometría plana o elemental. En ellos Euclides recoge las técnicas
geométricas utilizadas en la escuela de Pitágoras para resolver lo que hoy se
consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas; se incluye también la
teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo.
Los libros
del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas: las principales
propiedades de la teoría de los números (divisibilidad, números primos), los
conceptos de conmensurabilidad de segmentos a sus cuadrados y las cuestiones
relacionadas con las transformaciones de los radicales dobles. Los tres
restantes se ocupan de la geometría de los sólidos, hasta culminar en la
construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que
habían sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto.
De las
restantes obras de Euclides sólo poseemos referencias o breves resúmenes de
comentaristas posteriores. Los tratados sobre los Lugares superficiales y las
Cónicas ya contenían, al parecer, algunos de los resultados expuestos
posteriormente por Apolonio de Perga. En los Porismas se desarrollan los
teoremas geométricos denominados actualmente de tipo proyectivo; de esta obra
sólo conservamos el resumen trazado por Pappo de Alejandría. En Óptica y
Catóptricase estudiaban las leyes de la perspectiva, la propagación de la luz y
los fenómenos de reflexión y refracción.
Dos mil años
de vigencia
La
influencia posterior de los Elementos de Euclides fue decisiva; tras su
aparición, se adoptó de inmediato como libro de texto ejemplar en la enseñanza
inicial de la matemática, con lo cual se cumplió el propósito que debió de
inspirar a Euclides. Tras la caída del Imperio Romano, su obra fue preservada
por los árabes y de nuevo ampliamente divulgada a partir del Renacimiento.
Más allá
incluso del ámbito estrictamente matemático, Euclides fue tomado como modelo,
en su método y exposición, por autores como Galeno, para la medicina, o
Spinoza, para la ética. Ello sin contar la multitud de filósofos y científicos
de todas las épocas que, en su búsqueda de sistemas explicativos de validez
universal, tuvieron en mente el admirable rigor lógico de la geometría de
Euclides.
De hecho,
Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma
clásica de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a
partir de unos principios previamente aceptados. En el caso de los Elementos,
los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones,
cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes.
La
naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente
discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los
postulados y, en particular, al quinto postulado, llamado de las paralelas.
Según este postulado, por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una
paralela a dicha recta. Su condición distinta respecto de los restantes
postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas
tentativas de demostrar el quinto postulado como teorema.
Los
esfuerzos por hallar una demostración resultaron infructuosos y prosiguieron
hasta el siglo XIX, cuando algunos trabajos inéditos de Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) y las investigaciones del matemático ruso Nikolai Lobachevski
(1792-1856) evidenciaron que era posible definir una geometría perfectamente
consistente (la geometría hiperbólica) en la que no se cumplía el quinto
postulado. Se iniciaba así el desarrollo de las geometrías no euclidianas, de
entre las que destaca la geometría elíptica del matemático alemán Bernhard
Riemann (1826-1866), juzgada por Albert Einstein como la que mejor representa
el modelo de espacio-tiempo relativista.
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